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“生日问题”何解?  

2014-11-06 16:21:39|  分类: 每日科学新闻 |  标签: |举报 |字号 订阅

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本文来自“科学美国人”中文版《环球科学》http://www.huanqiukexue.com/html/newgc/2014/1106/24965.html

同一个足球队中,两名球员的生日在同一天的概率有多大?在同一个数学班的两个学生呢?看起来都不太可能,对吗?但实际上,答案会令你惊讶哦!

  

 

正如你可能知道的,四年一届的世界杯最近正在巴西如火如荼地进行着;但你可能不知道的是,今年参赛的32支队伍各自拥有23名球员。本周数学小子(Math Dude)要讲的趣事与足球和世界杯一点关系都没有,那么我为什么还要提到这个有趣的事实呢?

 

请允许我用一个问题来回答这个问题:来自同一个球队的两名球员生日在同一天的几率有多大呢?看起来似乎非常小啊。毕竟,一年有365天,而一个队只有23名球员——所以自然很难有两个人生日同一天,不是吗?但信不信由你,这种想法是错误的。

 

我们很快就会发现,实际上不少,也许甚至是大多数的世界杯球队都会有两位球员在同一天过生日。可这怎么可能呢?继续阅读下去,你将找到答案!

 

掷骰子的概率

为了帮助我们理解同一天生日的问题,我们来想下掷骰子出现相同点数的可能性。首先,当你掷一个骰子的时候,出现6的可能性有多大?由于骰子有六个面,这个可能性是从六个面中出现其中一个,也是就1/6。

 

现在想象我们连续两次掷同样的骰子,那么这两次,不论是几,出现同样数字的可能性有多大呢?不管我们第一次得到的是几,第二次有1/6的可能得到同样的数字。那么,再一次的,这个概率是1/6。

 

如果我们接着掷骰子,那么第三次我们得到同样数字的可能性有多大呢?正如之前所看到的,有1/6的概率连续两次得到同样数字。同样的,无论这个数字是几, 第三次出现同样数字的概率依然是1/6。所以,连续三次掷骰子得到同样数字的概率是1/6x 1/6 = 1/36。

 

三个骰子的概率

 

 

现在,我们来思考一个有点难度的问题:如果掷三个骰子,那么至少出现两个同样数字的可能性有多大?解决这个问题的一个方法是:找出所有能够出现两个或以上相同数字的概率,之后将其相加得到总概率。在这种思路下,有两种情况我们需要考虑:

 

1.如果第二个骰子的数字和第一个一样,既然已经有一对相同的数字那么第三个骰子出现的数字就是无关紧要的。这种情况发生的概率是多少呢?我们之前计算过的,是1/6。

 

2. 如果第二个骰子的数字和第一个不一样(这种情况发生的概率是5/6),那么要想得到一对相同数字的方法就是第三个骰子的数字要么和第一个相同,要么和第二 个相同。这种情况发生的概率是2/6。这意味着整个过程的概率是5/6x 2/6 = 10/36,也就是5/18。

 

为了计算至少出现两个同样数字的总概率,我们需要将以上两种情况的概率相加。所以,总概率是1/6(第二个骰子和第一个相同的概率)加上5/18(第三个骰 子与第一个或者第二个骰子相同的概率),总和即是1/6 + 5/18 = 3/18 + 5/18 = 8/18,也就是4/9。换句话说,掷三个骰子,有大约44.4%的概率得到两个或两个以上相同的数字。

 

计算概率的小窍门

 

 

但事实上我们并不需要做这么多的工作。想要计算至少出现两个同样数字的概率,我们可以反过来计算不出现两个或两个以上同样数字的概率。换句话说,我们可以先计算每个骰子出现的数字都不同的概率。

 

这么做有什么好处呢?因为三个骰子出现至少两个数字相同的概率,与不出现两个或两个以上同样数字的概率相加之和应该为1——这就是概率的原理。所以我们可 以不用像刚刚那样计算(需要记录的情况有点多),而用另一种方法代替——那就是计算不出现两个或两个以上同样数字的概率(我们即将看到这要简单得多),然 后从1中减掉这个概率。

 

在这个问题中,不管第一个骰子的数字是几,第二个骰子出现与它相同数字的概率是1/6,也就是说有5/6的概率它们是不同的。由于我们的关注点在于三个骰子 出现不同数字的概率,所以我们需要按照后一种情况计算。接下来,有4/6的概率第三个骰子出现与前两者都不同的数字。这意味着三个骰子的数字都不同的概率 是5/6 x 4/6 = 20/36 = 5/9,大约是55.6%。

 

那么这告诉我们至少出现两个同样数字的概率是多少呢?这种情况出现的概率一定是1 - 5/9 = 4/9。这其实与我们用前一种方法得到的答案是一样的——但这次我们的计算变得简单多了!这感觉棒极了,是吗?

 

生日问题

不管你是否相信,只需使用这个方法,我们就可以解决生日问题了,即由23名球员组成的各支世界杯参赛队中,某队中有两位球员生日相同的概率是多少。思路是 这样的:我们不去计算两个人生日相同的可能性,而是去计算球队23个人的生日都不同的可能性。我们一旦知道了后者的概率,那么得到互补概率就非常容易了。

 

将球队球员编号,前两名球员生日不同的概率是364/365,第三名球员与前两名生日不同的概率是363/365(因为已经有两天被生日占据了),第四名球员与前三名生日都不同的概率是362/365,以此类推,直到第23名球员,他的概率是343/365。

 

为了计算队中所有人的生日都不同的概率,我们需要将这些概率做乘法。如果计算一下,你会发现364/365 x 363/365 x 362/365 x ... x 343/365的结果近似等于0.49。这也就表示,有49%的可能性所有人的生日都不同;同时说明了有1 - 0.49 = 0.51,即51%的可能性两人或更多人的生日会在同一天。

 

那么对于一整个数学班的学生来说情况会怎么样呢?如果按照30人一个班级计算,两人或更多人的生日相同的概率大约是71%。

 

这结果可能与你的直觉相反,但它是真的——即使在一个相对小型的球队或班级中,两个人生日相同的可能性也非常大。有时候数学真奇妙!(撰文:贾森?马沙尔(Jason Marshall)  翻译:杨青  审稿:张哲)

 

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原文链接:http://www.scientificamerican.com/article/how-to-solve-the-famous-birthday-problem/

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